Beberapa model pembelajaran Matematika

Model pembelajaran kooperatif

PENDAHULUAN

Bila kita mengajarkan suatu topik tertentu dalam matematika, kita harus memilih pendekatan, strategi, metode, teknik yang sesuai dengan kondisi dan situasi anak yang akan kita ajar, supaya tujuan pengajaran tercapai dengan hasil yang baik. Bila guru tidak dapat menggunakan strategi belajar yang sesuai, hasil belajar yang diharapkan tidak mungkin akan tercapai secara optimal.

Pada makalah ini akan dibahas mengenai model-model pengajaran. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai model-model pengajaran, akan dibicarakan dahulu apa yang dimaksud dengan pendekatan, strategi, metode dalam pengajaran.

  1. Pendekatan dalam Pengajaran

Pendekatan adalah suatu jalan, cara, atau kebijaksanaan yang ditempuh oleh guru atau siswa dalam pencapaian tujuan pengajaran apabila kita melihatnya dari sudut bagaimana proses pengajaran atau materi pengajaran itu dikelola. Contoh pendekatan-pendekatan  dalam pengajaran matematika antara lain: CBSA, kontekstual, induktif, deduktif, spiral, pemecahan masalah dan sebagainya.

  1. 2. Strategi Pembelajaran

Untuk mencapai tujuan dalam mengajarkan topik-topik dalam matematika digunakan pendekatan mengajar. Pendekatan yang digunakan bermacam-macam jenisnya. Dalam mengajarkan suatu topik apakah materi pelajaran tersebut disajikan kepada siswa baik secara perorangan maupun secara berkelompok. Setelah materi tersebut terpilih terdapat pertanyaan lain, siapakah yang mengajarkannya? Guru secara perorangan atau kelompok. Bisa saja materi dipelajari sendiri oleh siswa. Bila guru yang memberi materi, bagaimana cara guru memotivasi siswa agar siswa berpartisipasi, bagaimana guru harus mengelola kelas sehingga pelajaran berjalan sebagaimana mestinya. Pengaturan materi kurikulum tersebut disebut strategi pembelajaran..

  1. Metode Mengajar

Metode mengajar adalah cara mengajar atau cara menyampaikan materi pelajaran kepada siswa yang kita ajar. Macam-macam metode mengajar antara lain: ceramah, ekspositori, tanya jawab, penemuan.

Ceramah adalah suatu cara penyampaian (memberikan) informasi secara lisan terhadap siswa di dalam ruangan tertentu, siswa mendengarkan dan mencatat seperlunya. Metode ceramah lebih sesuai pada bidang non eksakta karena dianggap paling praktis. Pada metode ceramah pengajaran berpusat pada guru, sebab guru lebih banyak berbicara/menyampaikan materi.

Metode ekspositori memiliki kesamaan dengan metode ceramah, karena sifatnya memberi informasi. Beda  ekspositori dari ceramah adalah dominasi guru dikurangi. Dalam metode ekspositori guru memberi informasi hanya pada waktu-waktu tertentu yang diperlukan siswa, misalnya pada awal pengajaran, atau untuk suatu topik yang baru.

 

  1. Model Pengajaran

Istilah model pengajaran dibedakan dari istilah strategi pengajaran, metode pengajaran, atau prinsip pengajaran. Istilah model pengajaran mempunyai makna yang lebih luas daripada suatu strategi, metode, atau prosedur. Istilah model pengajaran mempunyai empat ciri khusus yang tidak dipunyai oleh strategi atau metode tertentu yaitu: rasional teoretik yang logis yang disusun oleh penciptanya, tujuan pembelajaran yang akan dicapai, tingkah laku mengajar yang diperlukan agar model tersebut dapat dilaksanakan secara berhasil, dan lingkungan belajar yang diperlukan agar tujuan pembelajaran itu dapat tercapai.

Istilah model pengajaran meliputi pendekatan suatu model pengajaran yang luas dan menyeluruh. Contohnya pada model pembelajaran berdasarkan masalah, kelompok-kelompok kecil siswa bekerja sama memecahkan suatu masalah yang telah disepakati oleh siswa dan guru. Ketika guru sedang menerapkan model pengajaran tersebut, seringkali siswa menggunakan bermacam-macam keterampilan, prosedur pemecahan masalah, dan berpikir kritis.  Model pengajaran berdasarkan masalah dilandasi oleh teori belajar konstruktivis; pada model ini pembelajaran dimulai dengan menyajikan permasalahan nyata yang penyelesaianya membutuhkan kerja sama diantara siswa-siswa. Dalam model pengajaran ini guru memandu siswa menguraikan rencana pemecahan masalah menjadi tahap-tahap kegiatan; guru memberi contoh mengenai penggunaan keterampilan dan strategi yang dibutuhkan supaya tugas-tugas tersebut dapat diselesaikan. Guru menciptakan suasana kelas yang fleksibel dan berorientasi pada upaya penyelidikan oleh siswa.

Model-model  pengajaran dapat diklasifikasikan berdasarkan: tujuan pembelajarannya, pola urutannya dan sifat lingkungan belajarnya. Sebagai contoh pengklasifikasian berdasarkan tujuan, pengajaran langsung merupakan suatu model pengajaran yang baik untuk membantu siswa mempelajari keterampilan dasar seperti tabel perkalian atau untuk topik-topik yang banyak berkaitan dengan penggunaan alat. Akan tetapi model ini tidak sesuai bila digunakan untuk mengajarkan konsep-konsep matematika tingkat tinggi.

Yang dimaksud dengan sintaks (pola urutan) dari suatu model pengajaran adalah pola yang menggambarkan urutan alur tahap-tahap keseluruhan yang pada umumnya disertai dengan serangkaian kegiatan pembelajaran.  Sintaks (pola urutan) dari suatu model pengajaran tertentu menunjukkan dengan jelas kegiatan-kegiatan apa yang harus dilakukan guru atau siswa. Sintaks (pola urutan) dari bermacam-macam model pengajaran memiliki komponen-komponen yang sama. Contohnya, setiap model pengajaran diawali dengan upaya menarik perhatian siswa dan memotivasi siswa agar terlibat dalam proses pembelajaran. Setiap model pengajaran diakhiri dengan tahap menutup pelajaran yang di dalamnya meliputi kegiatan merangkum pokok-pokok pelajaran. Kegiatan merangkum dilakukan oleh siswa dengan bimbingan guru.

Tiap-tiap model pengajaran membutuhkan sistem pengelolaan dan lingkungan belajar yang sedikit berbeda. Misalnya, pada model pengajaran kooperatif memerlukan lingkungan belajar yang fleksibel seperti tersedia meja dan kursi yang mudah dipindahkan. Pada model pengajaran diskusi para siswa duduk dibangku yang disusun secara melingkar atau seperti tapal kuda. Sedangkan pada model pengajaran langsung siswa duduk behadap-hadapan dengan guru.

Pada model pengajaran kooperatif siswa perlu berkomunikasi satu sama lain, sedangkan pada model pengajaran langsung siswa harus tenang dan memperhatikan gurunya.

Yang akan dibahas selanjutnya pada makalah ini hanya tiga model pengajaran saja yaitu model pengajaran langsung, model pengajaran kooperatif, dan model pengajaran berdasarkan masalah.

  1. PENDAHULUAN

Dalam menghadapi tantangan global saat ini, kiranya diperlukan suatu terobosan baru dalam dunia pendidikan guna menghasilkan manusia yang berkualitas dan unggul, agar siap untuk berkompetisi, mampu bertahan hidup (survive), dan memberikan warna dalam kehidupan ini (life skills). Kompetisi merupakan prinsip hidup yang baru,  karena dunia terbuka dan bersaing untuk melaksanakan sesuatu yang lebih baik.

Pendidikan merupakan bagian dari usaha untuk meningkatkan taraf kesejahteraan kehidupan manusia, sehingga di era globalisasi saat ini kita perlu mencari paradigma baru mengenai pendidikan, apa yang dihasilkan dari suatu pendidikan ?. Soedijarto (1993:125) mengemukakan setidaknya ada tiga indikator utama dari hasil pendidikan yang bermutu yang tercermin dari kemampuan pribadi lulusannya, yaitu : 1) kemampuan untuk bertahan dalam kehidupan, 2) kemampuan untuk meningkatkan kualitas kehidupan baik dari segi sosial budaya, politik, ekonomi dan fisik biologis, dan 3) kemampuan untuk belajar terus pada pendidikan lanjutan.

Sehubungan dengan hal tersebut, Tilaar (1999:55) mengemukakan bahwa kehidupan manusia di abad ke-21 diarahkan kepada terciptanya masyarakat madani (civil society), yaitu suatu masyarakat yang mengenal hak dan kewajiban masing-masing anggota secara bersama-sama bertanggung jawab terhadap umat manusia, seluruh umat manusia membangun masyarakat madani dimana perdamaian dan keadilan menjadi nilai-nilai tertinggi. Oleh karena itu kemampuan bekerjasama (teamwork) dan jaringan-jaringan kerjasama (network) sangat diperlukan, mengingat kemampuan spesifik setiap individu secara keseluruhan bila dikembangkan melalui suatu teamwork dapat menghasilkan produk-produk yang lebih unggul, dan networking semakin diperlukan karena manusia hidup berhubungan satu dengan lainnya.

Uraian di atas mengisyaratkan bahwa dunia pendidikan perlu melakukan perubahan paradigma, khususnya dalam setiap pembelajaran, yaitu dari paradigma yang beroreintasi pada ”mengajar” kepada paradigma ”belajar”. Interaksi yang terjadi baik secara individual maupun sosial menempatkan interaksi ”teman sebaya” menjadi sangat penting, bagian inilah yang digunakan sebagai awal untuk membangun pembelajaran yang didasarkan pada paradigma belajar dalam pembelajaran (Setyono,2003:1)

Dalam pembelajaran matematika perubahan paradigma tersebut merupakan usaha yang perlu dilaksanakan guna memperbaiki kualitas pembelajaran matematika di sekolah. Salah satu model pembelajaran yang dapat diterapkan guna menjawab tuntutan pada masa depan adalah model pembelajaran kooperatif (cooperative learning). Pembelajaran kooperatif diyakini menjadi salah satu alternatif dalam perbaikan kualitas pembelajaran, yang pada akhirnya dapat memperbaiki kualitas pendidikan.

Pembelajaran kooperatif sangat berperan dalam membangun komunitas matematika, karena dalam pembelajaran kooperatif komunikasi antar siswa sangat penting dalam pengkonstruksian pengetahuan matematika maupun pengembangan pemecahan masalah, serta menumbuhkan rasa percaya diri dan peningkatan keterampilan sosial.

Model  pembelajaran kooperatif pada dasarnya menggalakkan siswa belajar bersama-sama dalam suatu kelompok kecil dengan kemampuan heterogen (tinggi, sedang, dan rendah), bahkan bila memungkinkan anggota kelompok berasal dari ras, budaya, suku, dan jenis kelamin yang berbeda. Interaksi personal siswa secara kooperatif menjadi hal penting untuk meningkatkan hasil belajar, penerimaan terhadap keragaman, dan pengembangan keterampilan sosial.

Selain memiliki berbagai tujuan sosial, pembelajaran kooperatif dapat meningkatkan kinerja siswa dalam tugas-tugas akademik. Pembelajaran kooperatif dapat memberi keuntungan baik pada kelompok bawah maupun siswa kelompok atas melalui kerjasama dalam menyelesaikan tugas-tugas akademik. Siswa kelompok atas diharapkan menjadi tutor bagi siswa kelompok bawah sehingga siswa kelompok bawah dapat memperoleh bantuan khusus dari teman sebaya, dengan demikian siswa kelompok atas akan meningkat kemampuan akademiknya karena memberikan pelayanan sebagai tutor.

Model pembelajaran kooperatif tidak sama dengan sekedar belajar dalam kelompok, namun ada unsur-unsur dalam pembelajaran kooperatif yang membedakan dengan pembelajaran kelompok biasa. Dalam pembelajaran kooperatif terdapat tahapan yang perlu dilaksanakan oleh guru dan siswa, bila hal tersebut dapat dilaksanakan dengan benar akan memungkinkan guru mengelola kelas dengan lebih efektif.

Terdapat beberapa tipe dalam pembelajaran kooperatif (Slavin,1994:76) diantaranya : Student Teams-Achievement Division (STAD), Teams Games Tournament (TGT), Jigsaw, dan Group Investigation (GI). Pada dasarnya tipe-tipe tersebut adalah sama, yaitu lebih mengutamakan kerja kelompok, namun dalam pengelompokkan tugas yang berbeda.

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai model pembelajaran kooperatif tipe STAD. Pemilihan tersebut didasarkan pada pertimbangan bahwa tipe STAD adalah tipe yang paling sederhana dalam tipe pembelajaran kooperatif, selain itu beberapa pakar (Slavin,2000; Arend,2000; Nur,2000;dan Lie,2002 ) menyarankan bahwa bagi guru yang pertama kali akan menggunakan model pembelajaran kooperatif hendaknya menggunakan tipe STAD

  1. PEMBAHASAN
  2. Pengertian Pembelajaran Kooperatif

            Falsafah yang mendasari model pembelajaran kooperatif adalah falsafah homo homini socius (Lie,2002:27). Falsafah ini menekankan bahwa manusia adalah makhluk sosial, kerja sama merupakan kebutuhan yang sangat penting bagi kelangsungan hidup. Tanpa kerjasama tidak akan ada organisasi, sekolah, keluarga, tanpa kerjasama kehidupan akan punah.

Pembelajaran kooperatif adalah suatu model pembelajaran yang mendorong siswa untuk aktif bertukar pikiran dengan sesamanya dalam memahami materi pelajaran. Siswa belajar dan bekerja dalam kelompok-kelompok kecil yang anggotanya terdiriu dari 4-6 orang dengan kemampuan heterogen (tinggi, sedang, dan rendah), bahkan bila memungkinkan anggota kelompok berasal dari ras, budaya, suku, dan jenis kelamin yang berbeda. Belajar kooperatif menekankan pada kerjasama, saling membantu, dan berdiskusi dalam menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan. Sistem penghargaan dalam pembelajaran kooperatif lebih dititikberatkan pada kelompok daripada individu.

Dalam pembelajaran matematika, Mwerinde dan Ebert (Dahlan, 2004:66) berpendapat bahwa, pembelajaran kooperatif lebih mendorong siswa terhadap berpikir kritis, berpikir tingkat tinggi, dan dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, meningkatkan kemampuan matematik, dan meningkatkan sikap yang positif terhadap matematika.

Beberapa penelitian yang dilakukan di luar negeri menunjukkan bahwa pembelajaran kooperatif dapat memberikan kontribusi yang signifikan, antara lain penelitian Lundgren (1994) melaporkan bahwa pembelajaran kooperatif memiliki dampak yang sangat positif bagi siswa berkemampuan rendah terhadap hasil belajarnya. Penelitian Slavin (1995), melaporkan bahwa kerja kelompok membuat siswa bersemangat untuk belajar aktif, untuk menampilkan diri atau berperan diantara teman sebayanya. Penelitian Tek (1998) melaporkan bahwa siswa yang terlibat dalam pembelajaran kooperatif STAD mencapai hasil belajar yang lebih tinggi secara signifikan dibandingkan dengan hasil belajar siswa yang belajarnya secara tradisional. Selanjutnya penelitian Arends (2000) mengemukakan bahwa pembelajaran kooperatif dapat memperbaiki hubungan sosial dan meningkatkan hasil belajar siswa. Edwards (Dahlan,2004:67) dalam penelitiannya mengenai Cooperative Learning in Response to an Innovative Currriculum as a Manifestation of Change in Teaching Practice, menemukan bahwa ada kecenderungan guru-guru matematika pada level 7 dan 8 ( dalam inservice training selama 4 minggu di University of Chicago School Mathematics Project –UCSMP ) untuk menggunakan statrgi kooperatif dalam pembelajaran matematika.

Di negara kita juga telah dilakukan penelitian tentang penerapan model pembelajaran kooperatif, diantaranya oleh mahasiswa pascasarjana (S-2 dan S-3) Universitas Pendidikan Indonesia (UPI), Universitas Negeri Malang (UM), Universitas Negeri Surabaya (UNESA), Universitas Negeri Semarang (UNES), dan lainnya, ditemukan bahwa hasil belajar siswa meningkat secara cukup berarti, siswa menjadi lebih peduli dengan kesulitan yang dihadapi temannya.

 

 

 

  1. Unsur-unsur dalam Pembelajaran Kooperatif

            Unsur-unsur dasar dalam pembelajaran kooperatif menurut Lundgren (1994:5) adalah sebagai berikut :

  1. Para siswa harus memiliki persepsi bahwa mereka ”tenggelam dan berenang bersama”
  2. Para siswa memiliki tanggungjawab terhadap siswa lain dalam kelompoknya, disamping terhadap diri sendiri dalam mempelajari materi.
  3. Para siswa harus berpandangan bahwa mereka semuanya memiliki tujuan yang sama
  4. Para siswa harus membagi tugas dan berbagi tanggungjawab sama besarnya antara anggota kelompok
  5. Para siswa akan diberikan satu evaluasi atau penghargaan yang akan ikut berpengaruh terhadap evaluasi seluruh anggota kelompok
  6. Para siswa berbagi kepemimpinan sementara mereka memperoleh keterampilan bekeja sama selama belajar
  7. Para siswa akan diminta pertanggungjawaban secara individual materi yang ditangani dalam kelompok kooperatif.

Unsur-unsur dasar tersebut yang membedakan pembelajaran  kooperatif dengan pembelajaran kelompok biasa. Untuk lebih jelasnya tentang perbedaan tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1.  

Perbedaan Peranan Kelompok antara Pembelajaran Kooperatif dengan Pembelajaran Kelompok  Biasa (Nur,1996:2)

 

Peranan Kelompok
Pembelajaran Kooperatif Pembelajaran Kelompok Biasa
1.   Kepemimpinan bersama

2.   Saling bergantungan positif

3.   Keanggotaan heterogen

4.   Memperalaji keterampilan-keterampilan kooperatif

5.   Tanggung jawab terhadap hasil   belajar seluruh anggota kelompok

6.   Menekankan pada tugas dan hubungan kooperatif

7.   Ditunjang oleh guru

8.   Satu hasil kelompok

9.   Evaluasi kelompok

 

1.   Satu pemimpin

2.   Tidak ada saling ketergantungan

3.   Keanggotaan yang homogen

4.   Asumsi adanya keterampilan- keterampilan yang efektif

5.   Tanggung jawab terhadap hasil  belajar sendiri

6.  Hanya menekankan pada tugas

 

7.   Diarahkan oleh guru

8.   Beberapa hasil individu

9.   Evaluasi individual

 

  1. Peran Guru dalam Pembelajaran Kooperatif

Dalam pembelajaran kooperatif guru berperan sebagai fasilitator, motivator, dan manajer belajar. Pemberian bantuan secara scaffolding sangat diperlukan. Scaffolding adalah pemberian sejumlah bantuan kepada anak pada tahap-tahap awal pembelajaran, kemudian menguranginya dan memberi kesempatan kepada anak untuk mengambil alih tanggungjawab saat mereka mampu.

Bantuan tersebut berupa petunjuk, peringatan, dorongan, menguraikan masalah pada langkah-langkah pemecahan, memberi contoh, ataupun hal-hal yang memungkinkan siswa tumbuh mandiri. Berikut perbandingan peranan guru yang menggunakan model pembelajaran kooperatif dan pembelajaran kelompok biasa, tersaji pada Tabel 2.

benar benar baik

 

SOAL SOAL MATEMATIKA

SOAL SOAL  BERIKUT ini
Kelas                  : XIIMata Pelajaran   : Matematika

Program  Studi  : IPS

Paket                  : 1A

Pilihlah Satu Jawaban Yang Benar !

  1. “Ani bukan penyanyi atau bukan penari” pernyataan tersebut setara dengan….
    1. Ani penyanyi dan penari
    2. Ani penyanyi atau penari
    3. Tidak benar bahwa Ani penyanyi dan penari
    4. Tidak benar bahwa Ani penyanyi atau penari
    5. Ani bukan penyanyi tetapi penari
  1. Negasi dari pernyataan “Jika atlit-atlit kita juara umum, maka Indonesia penyelenggara sea games” dalah…
    1. Jika atlit-atlit kita juara umum, maka Indonesia bukan penyelenggara sea games.
    2. Jika atlit-atlit kita tidak juara umum, maka Indonesia bukan penyelenggara sea games
    3. Atlit-atlit kita juara umum, tetapi Indonesia bukan penyelenggara sea games
    4. Atlit-atlit kita juara umum, atau Indonesia bukan penyelenggara sea games
    5. Atlit-atlit kita tidak juara umum, tetapi Indonesia penyelenggara sea games
  1. Penarikan kesimpulan pada premis-premis berikut adalah … .

p1 : Jika Adi lulus ujian maka Adi dibelikan sepeda motor.

p2 : Jika Adi dibelikan sepeda motor maka ia kuliah tidak terlambat.

  1. Jika Adi kuliah tidak terlambat, maka ia lulus ujian.
  2. Jika Adi kuliah terlambat, maka ia tidak dibelikan sepeda motor.
  3. Jika Adi kuliah terlambat, maka ia tidak lulus ujian.
  4. Adi tidak lulus ujian atau ia kuliah tidak terlambat.
  5. Adi tidak dibelikan sepeda motor, tetapi ia kuliah tidak terlambat.
  1. Hasil perkalian dari
  1. Bentuk sederhana dari = ,  a dan b bilangan bulat. maka a + b =…
  1. Nilai x  dari  adalah…xxxx
  1. y
    0
    x
    1
    6
    -3

    Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar brikut adalah…

  1. Diketahui dan    , maka
  1. Diketahui fungsi ,  ,  nilai dari
    1. 26 41
    2. 31 46
    3. 37
  1. Bila a dn b adalah akar-akar persamaan kuadrat ,maka nilai dari =…
  1. Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan ,untuk x Î R, adalah…
  1. Diketahui sistem persamaan : dan   , nilai dari
  2. -1             2
  3. 0
  4. 1 6
  1. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…
    1. 39 tahun 54 tahun
    2. 43 tahun 78 tahun
    3. 49 tahun
  1. Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan  :
Y

4          I

IV              II

1         III

V

-2                                               3                         X

adalah terletak di daerah….

  1. I IV
  2. II
  3. III V
  1. Nilai maksimum , pada daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan :

adalah…

  1. 4 18
  2. 8
  3. 12 26
  1. Sebuah kantin sekolah menyediakan soto ayam dan soto sapi tidak lebih dari 80 porsi per hari. Banyak porsi soto ayam sedikitnya 20 porsi  dan soto sapi paling banyak 60 porsi . harga soto ayam Rp 5.000,- per porsi dan soto sapi Rp 6.000,- per porsi. Banyaknya soto ayam  dan banyaknya soto sapi  agar mendapatkan hasil penjualan maksimum adalah…a30 dan 50

Nilai  n yang memenuhi    (dengan = transpose A ) adalah….

  1. 2
  1. Jika A = dan B = , maka determinan dari  = …
    1. 2
    2. 3
    3. 1
  1. Matriks yang memenuhi ..
  1. Invers dari matriks ..
    1. .
    2. 19  26
    3. 21  28
    4. 23
  1. Suku kedua dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah suku ke 4 dan suku ke 6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah…
  1. Dari deret aritmatika diketahui U6 + U9  + U12  + U15  = 20, maka S20 = …
  1. 50 200
  2. 80 400
  3. 100
  1. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama = 4 dan suku kelima = 324, maka jumlah delapan suku pertama deret yang bersesuaian adalah…
  1. 560 D. 13.122
  2. 562 E. 13.124
  3. 120
  1. Seorang pemilik kebun, memetik jeruknya setiap hari, dan mencatatnya. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke n memenuhi rumus Un = 80 + 20n. Banyaknya jeruk yang dipetik selama 18 hari yang pertama adalah…
    1. 840 buah D.  4.870 buah
    2. 850 buah E. 4.880 buah
    3. 860 buah
  1. Nilai dari adalah… .
  2. 4                                                             -1
  3. 2
  4. 1                                                             -2
  1. Nilai dari  adalah…
  2. 8                                                             2
  3. 4
  4. 3                                                             1
  1. Jika  , dan  turunan f(x)  adalah    , maka nilai dari
  2.                                                               3
  3.                                                               -2
  1. Fungsi naik  pada interval….
  2.              atau
  3.                                                  atau
  1. Suatu proyek pembangunan perumahan diselesaikan dalam x hari dengan biaya per hari ratusan ribu rupiah , agar biaya proyek minimum maka proyek itu diselesaikan dalam …. hari.
  2. 200                                                                 150
  3. 180
  4. 160 100
  1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva  dan garis  …
  2. 1
  1. Pengurus  suatu organisasi terdiri dari  ketua,  sekretaris dan bendahara  akan dipilih dari 3 pria dan 2 wanita , jika ketua harus pria maka banyak susunan  pengurus yang mungkin adalah…
  2. 216                                                                         36
  3. 120
  4. 60                                                             18
  1. Ana, Berta, Candra dan Doni  akan berfoto bersama seorang artis , banyaknya susunan berfoto berbeda  jika si artis selalu di tengah adalah….
  2. 5                                                                         48
  3. 20
  4. 24                                                                         120
  1. Pada percobaan melambungkan dua dadu  bersama sebanyak  180 kali , frekuensi  harapan muncul selisih angka dua dadu lebih dari 3 adalah…
  2. 120                                                                         30
  3. 90
  4. 60                                                                         15
  1. Dari 5 pria dan 3 wanita akan dipilih 3 orang , peluang terpilih 2 pria dan 1 wanita adalah….
A=
B=
C=
E =
D
  • Diagram lingkaran di bawah ini menunjukkan pekerjaan kepala keluarga di   desa Adimulya  , dengan  A, B, C, D, E  berturut-turut  adalah  karyawan , petani, buruh , PNS, wirausaha.  Jika banyaknya  kepala keluarga adalah 504 , maka banyak kepala keluarga dengan pekerjaan PNS adalah…. orang
  1. 35             140
  2. 70
  3. 80             210
Nilai Frekuensi
2 – 6 2
7 – 11 3
12 – 16 3
17 – 21 6
22 – 26 6
  1. Mean dari data di bawah adalah….
  1. 15,50                                     16.75
  2. 16,00
  3. 16,25 17,25
  1. Modus dari histogram berikut   ….
  2. 83
  3. 93
  4. 13
  5. 23
  6. 43
             frekuensi9

4

5                              2

1,5    3.5      5.5      7.5      9.5     10.5   Tepi kelas

2
  1. Simpangan rata rata dari data : 5, 7, 9, 8, 10, 3 adalah….

SEJARAH MATEMATIKA

Matematika ada sejak manusia ada didunia, secara tidak sadar kita sudah mengajarkan matematika kepada anak kita.

Berikut kami berikan sebagian kutipan tentang sejarah Matematika dari beberapa tulisan :

Matematika Prasejarah

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun. Pengkajian modern terhadap fosil binatang menunjukkan bahwa konsep ini tidak berlaku unik bagi manusia. Konsep ini mungkin juga menjadi bagian sehari-hari di dalam kawanan pemburu. Bahwa konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa zaman kini mengawetkan perbedaan antara “satu”, “dua”, dan “banyak”, tetapi bilangan yang lebih dari dua tidaklah demikian.

Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun,menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Demikian kutipan saya semoga bermanfaat bagi pembaca.

Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima atau kalender lunar enam bulan. Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.

1. Matematika Mesopotamia

– Menentukan system bilangan pertama kali

– Menemukan system berat dan ukur

– Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji
2. Matematika Babilonia

– Menggunakan sitem desimal dan p=3,125

– Penemu kalkulator pertama kali

– Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi

– Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat

– Geometrinya bersifat aljabaris

– Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang

– Sudah mengenal teorema Pythagoras\
3.Matematika  Mesir Kuno

– Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi

– Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM

-Mengenal tripel Pythagoras

– Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika

– Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4.Matematika  Yunani Kuno

– Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)

– Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi

– Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut

– Hipassus penemu bilangan irrasional

– Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)

– Archimedes membuat geometri bidang datar

– Mengenal bilangan prima
5.Matematika India

– Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad

– Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran

– Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal

– Brahmagyupta menemukan bilangan negatif

– Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”

– Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal
6.Matematika China

– Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM

– Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus

– Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik

– Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.
Dasar fakta tentang asal-usul peradaban Yunani dan matematikanya:
  • Perkiraan yang terbaik adalah bahwa peradaban Yunani kembali pada  2800 SM – pada saat pembangunan piramida besar di Mesir. Orang Yunani menetap di Asia Kecil, mungkin rumah asli mereka, di bidang Yunani modern, dan di Italia selatan, Sisilia, Kreta, Rhodes, Delos, dan Afrika Utara.
  • Sekitar 775 SM mereka berubah dari tulisan hieroglif ke abjad Fenisia. Hal ini memungkinkan mereka untuk menjadi lebih baik, atau setidaknya lebih lancar dalam kemampuan mereka untuk mengekspresikan pikiran konseptual.
  • Peradaban Yunani kuno berlangsung hingga sekitar 600 SM
  • Pengaruh Mesir dan Babilonia itu terbesar di Miletus, kota Ionia di Asia Kecil dan tempat kelahiran filsafat Yunani, matematika dan ilmu pengetahuan.
  • Dari sudut pandang matematika nya, yang terbaik adalah untuk membedakan antara dua periode: periode klasik dari sekitar 600 SM sampai 300 SM dan Aleksandria atau periode Helenistik dari 300 SM sampai 300 AD Memang, dari sekitar 350 SM pusat matematika pindah dari Athena ke Alexandria (di Mesir), kota ini dibangun oleh Alexander Agung (358 -323 SM). Ini tetap menjadi pusat matematika selama seribu tahun sampai perpustakaan dihentikan oleh umat Islam pada sekitar 700 AD
Sumber-sumber Matematika Yunani
Dalam kenyataannya, pengetahuan langsung kita tentang matematika Yunani kurang dapat diandalkan dibandingkan dengan Mesir yang lebih tua dan Babilonia, karena tidak ada naskah asli masih ada. Ada dua sumber:
·         Naskah kuno Yunani Bizantium (buku naskah) yang ditulis 500-1500 tahun setelah karya-karya Yunani tenang.
·         Arab terjemahan karya-karya Yunani dan terjemahan Latin dari versi bahasa Arab.
  • Selain itu, kami tidak tahu bahkan jika karya-karya ini dibuat dari aslinya. Sebagai contoh, Heron membuat sejumlah perubahan Euclid ‘s Elemen, menambahkan kasus baru, memberikan bukti yang berbeda dan converses. Demikian juga untuk Theon dari Alexandria (400 M).
Orang Yunani menulis sejarah Matematika:
  • Eudemus (abad SM), anggota sekolah Aristoteles menulis sejarah aritmatika, geometri dan astronomi
  • Theophrastus (sekitar 372-c 287 SM.) Menulis sebuah sejarah fisika.
  • Pappus menulis Koleksi Matematika, account matematika klasik dari Euclid ke Ptolemeus
  • Pappus menulis Keuangan Analisis, koleksi karya-karya Yunani sendiri.
  • Proclus (410-485 AD) menulis Komentar, mengobati Buku I Euclid dan berisi kutipan karena Eudemus
Sekolah Matematika Yunani:
·         Sekolah Ionia didirikan oleh Thales (c. 643 -. C 546 SM).
·         Sekolah Pythagoras didirikan oleh Pythagoras pada sekitar 585
·         Sekolah Eleatic dari kota Italia selatan Elea dipimpin oleh Zeno yang membawa ke permukaan kontradiksi antara diskrit dan kontinu, decomposable dan yg tak dpt dibagi
·         Sekolah Eleatic. Democritus dari Abdera (sekitar 460-370 SM) juga harus disertakan dengan Eleatics
·         Sekolah Sofis (480 SM) itu berpusat di Athena. Penekanan diberikan kepada penalaran abstrak dan tujuan menggunakan alasan untuk memahami alam semesta.
·         Sekolah Platonis, yang paling terkenal dari semua didirikan oleh Plato (427-327 SM) pada 387 SM di Athena.
·         Pythagoras pelopor sekolah, Theodorus dari Kirene dan Archytas ari Tarentum, melalui ajaran-ajaran mereka, menghasilkan pengaruh Pythagoras kuat di sekolah Platonis keseluruhan
·         Akademi Plato adalah seperti sebuah universitas modern. Ada alasan, bangunan, siswa, dan program pendidikan formal yang diajarkan oleh Plato dan para pembantunya. Selama periode klasik, matematika dan filsafat yang disukai
·         Sekolah Eudoxus didirikan oleh Eudoxus (c. 408 SM), yang paling terkenal dari semua yang hebat matematika Yunani klasik dan kedua setelah Archimedes
·         Sekolah Aristoteles, yang disebut Lyceum, yang didirikan oleh Aristoteles (384-322 SM) mengikuti sekolah Platonis. Aristoteles mengatur filsafat fisika, matematika, dan realitas pada yayasan yang akan membawanya ke zaman modern
Masa dari Thales sampai Euclid

Tiga abad yang pertama dari matematika yunani dimulai dengan adanya usaha untuk merintis geometri demonstratif oleh Thales sekitar 600SM dan memuncak dalam karya-karya Euclid yang mengagumkan pada tahun 300SM. Di samping balai pengajaran Ionia yang didirikan Thales di Melitus dan balai pengajaran pengikut Pythagoras yang pertama di Crotona, Sejumlah pusat-pusat matematika lahir dan berkembang di barbagai tempat dalam kurun waktu yang sebagian besar dipengaruhi oleh latar belakang sejarah politik Yunani.

 Euclid                                          Thales

Pada sekitar 1200SM suku primitif Doria berpindah ke arah selatan memasuki semenanjung yunani, meninggalkan daerah-daerah pegunungan utara yang luas untuk menempati daerah yang lebih baik. Suku utama mereka yaitu suku Sparta yang membangun kota Sparta.

sebagian penduduk asli yang diserbu melarikan diri demi keselamatan masing-masing menuju Asia kecil dan kepulauan Ionia di laut Aegea. di sana mereka mendirikan koloni dagang Yunani. Dalam koloni-koloni inilah pada abad keenam SM didirikan balai pengajaran Ionia, filsafat Yunani berkembang dan lahirlah geometri demonstratif.
Pada masa itu Persia telah menjadi kerajaan militer yang besar. sebagai akibat dari renacan ekspansi yang tidak dapat dihindarkan dari sistem ekonomi yang berdasarkan perbudakan, Persia menaklukkan kota0kota Ionia dan koloni-koloni Yunani di Asia kecil pada 546 SM. akibatnya sejumlah ahli filsafat Yunani seperti Pythagoras dan Xenophanes, meninggalkan negeri kelahirannya dan berpindah ke koloni-koloni Yunani yang makmur di Italia selatan. Sekolah-sekolah filsafat dan matematika berkembang di Crotona di bawah Pythagoras, di Elea dibawah Xenophanes, Zeno dan Permenides.
Beban penindasan yang sangat dirasakan oleh kota-kota Ionia yang telah ditaklukkan menimbulkan pemberontakan pada 499 SM. Athena yang menjadi pusat kebudayaan barat dengan kemajuan politik ke arah demokrasi, membantu pemberontakan itu dengan mengirimkan tentara. Meskipun pemberontakan itu dapat dihancurkan, raja Darius dari Persia yang telah dibuat marah mengambil keputusan untuk menghukum Athena. Pada tahun  492SM ia membentuk angkatan darat dan angkatan laut yang besar untuk menyerang daratan Yunani, akan tetapi angkatan lautnya kemudian hancur akibat terkena badai dan angkatan darat mengalami banyak kesulitan dalam perjalanannya. Dua tahun kemudian pasukan Persia memasuki Attica dan mereka dikalahkan secara mutlak oleh orang-orang Athena di Marathon. Athena kini memegang kepemimpinan Yunani.
Pada tahun 480 SM Xerxes putra Darius, berusaha melancarkan serangan melalui darat dan laut terhadap Yunani. Orang-orang Athena menghadapi angkatan laut Persia pada pertempuran laut yang besar di Salamis, dan mendapat kemenangan. Meskipun pasukan darat Yunani dibawah pimpinan sparta dikalahkan dan dihancurkan di Thermopylae (latar belakang ini kemudian di jadikan film dengan judul 300, mungkin temen-temen sudah nonton, klo belum wajib tu!! ^^), dalam tahun berikutnya Yunani berhasil mengalahkan pasukan Persia di Plates dan memaksa mereka meninggalkan Yunani. Hegemoni Athena diperkokoh dan pada setengah abad berikutnya merupakan masa damai yang gemilang dalam sejarah Athena. kota pericles dan Socrates menjadi pusat perkembangan demokrasi dan intelektual. Para ahli matematika datang dari segala penjuru Yunani. Banyak pengikut Pythagoras yang bercerai berai dapat kembali ke Athena, sedangkan Zeno dan Permenides dari balai pengajaran Elea datang ke Athena untuk mengajar. Hippocrates, dari pulau Chios di daerah Ionia, mengunjungi Athena dan oleh penulis-penulis kuno dipandang berjasa karena menerbitkan karya geometri tersusun pertama di sana.
Perdamaian berakhir pada 431 SM dengan dimulainya perang Pelopanesus antara Athena dan Sparta. Hal ini ternyata menjadi konflik yang berkepanjangan. Athena yang semula mendapat kemenangan kemudian diserang wabah besar yang membunuh seperempat jumlah penduduknya. Akhirnya pada tahun 404 SM harus menerima kekalahan dari Sparta. Sparta memegang kepemimpinan politik tetapi melepaskannya kembali pada tahun 371 SM karena kekalahanya menghadapi persekutuan kota-kota yang memberontak. selama permusuhan ini tidak banyak perkembangan di bidang geometri di Athena dan sekali lagi perkembangan datang dari daerah-daerah yang lebih damai di Magna Graecia. Pengikut-pengikut Pythagoras dari Italia di izinkan untuk datang kembali setelah kecenderungan politik mereka dibersihkan, dan sebuah sekolah baru dari pengikut-pengikut Pythagoras lahir di Tarentus di bawah pengaruh Archytas yang berbakat dan banyak dikagumi.
dengan berakhirnya perang peloponnesus, Athena meskipun turun menjadi sebuah kekuatan politik yang kurang berarti, memegang kembali kepemimpinan kebudayaannya, dan balai pengajaran Athena kembali berkembang. Plato di lahirkan di Athena pada tahun berjangkitnya wabah yang besar itu, belajar filsafat di bawah Socrates dan matematika dibawah Theodorus di Cyrena di pantai Afrika. Ia adalah teman akrab dari Archytas dan setelah kembali pada tahun 380 SM, Ia mendirikan akademinya yang termashur di sana. Eudoxus, yang belajar dibawah bimbingan Archytas dan Plato, mendirikan sebuah balai di Cyzius di Asia kecil bagian utara. Menaechmus seorang rekan Plato dan murid Eudoxus menemukan irisan kerucut. Dinostratus saudara dari Menaechmus adalah seorang ahli geometri dan murid Plato. Theaetetus, seorang yang memiliki kepandaian sangat luar biasa dan kita mungkin berhutang budi kepadanya untuk karyanya yang banyak termuat dalam buku kesepuluh dan ketiga belas dari Euclid, adalah murid Theodorus yang berasal dari Yunani. perlu juga disebut nama Aritoteles. meskipun bukan seorang ahli matematika profesional, Ia adalah penyusun sistematik dari logika deduktif dan seorang pengarang tentang masalah fisika. beberapa bagian dari karyanya adalah Analytis Posteriora yang memperlihatkan suatu pengertian yang luar biasa tentang metode matematika.

Demikian uraian tentang sejarah perkembangan matematika pada masa Thales sampai Euclid

Archimedes terkenal dengan teorinya tentang hubungan antara permukaan dan volume dari sebuah bola terhadap selinder. Dia juga dikenal dengan teori dan rumus dari prinsip hydrostatic dan peralatan untuk menaikkan air – ‘Archimedes Screw’ atau sekrup Archimedes, yang sampai sekarang masih banyak digunakan di negara-negara berkembang. Walaupun pengungkit atau ungkitan telah ditemukan jauh sebelum Archimedes lahir, Archimedes yang mengembangkan teori untuk menghitung beban yang dibutuhkan untuk pengungkit tersebut. Archimedes juga digolongkan sebagai salah satu ahli matematika kuno dan merupakan yang terbaik dan terbesar di jamannya. Perhitungan dari Archimedes yang akurat tentang lengkungan bola di jadikan konstanta matematika untuk Pi atau π .

Archimedes lahir pada tahun 287 Sebelum Masehi di suatu kota pelabuhan Syracuse, Sicily (sekarang Italia). Dalam masa mudanya, Archimedes diperkirakan mendapatkan pendidikannya di Alexandria, Mesir.ok

Archimedes screwAir dipindahkan keatas melalui sebuah ulir pada sebuah Archimedes Screw

Kisah tentang Archimedes yang banyak diceritakan oleh orang adalah kisah saat Archimedes menemukan cara dan rumus untuk menghitung volume benda yang tidak mempunyai bentuk baku. Menurut kisah tersebut, sebuah mahkota untuk raja Hiero II telah dibuat dan raja memerintahkan Archimedes untuk memeriksa apakah mahkota tersebut benar-benar terbuat dari emas murni ataukah mengandung tambahan perak. Karena Raja Hiero II tidak mempercayai pembuat mahkota tersebut. Saat Archimedes berendam dalam bak mandinya, dia melihat bahwa air dalam bak mandinya tertumpah keluar sebanding dengan besar tubuhnya. Archimedes menyadari bahwa efek ini dapat digunakan untuk menghitung volume dan isi dari mahkota tersebut. Dengan membagi berat mahkota dengan volume air yang dipindahkan, kerapatan dan berat jenis dari mahkota bisa diperoleh. Berat Jenis mahkota akan lebih rendah daripada berat jenis emas murni apabila pembuat mahkota tersebut berlaku curang dan menambahkan perak ataupun logam dengan berat jenis yang lebih rendah. Karena terlalu gembira dengan penemuannya ini, Archimedes melompat keluar dari bak mandinya, lupa berpakaian terlebih dahulu, berlari keluar ke jalan dan berteriak “EUREKA!” atau ‘Saya menemukannya’ .

PengungkitBeban 5kg yang diletakkan pada jarak tertentu dapat menyeimbangkan beban 100kg pada satu ungkitan

Buku-buku yang ditulis oleh Archimedes dan berisikan rumus-rumus matematika masih dapat ditemukan sekarang, antara lain On the Equilibrium of Planes, On the Measurement of a CircleOn Spirals, On the Sphere and the Cylinder dan lain sebagainya. Teori-teori matematika yang dibuat oleh Archimedes tidak berarti banyak untuk perkembangan ilmu pengetahuan saat Archimedes meninggal. Tetapi setelah karyanya di terjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad 8 dan 9 (kurang lebih 1000 tahun setelah Archimedes meninggal), beberapa ahli matematika dan pemikir Islam mengembangkan teori-teori matematikanya. Tetapi yang paling berpengaruh terhadap perkembangan dan perluasan teori matematika tersebut adalah pada abad 16 dan 17, dimana pada abad itu, mesin cetak telah ditemukan. Banyak ahli matematika yang menjadikan buku karya Archimedes sebagai pegangan mereka, dan beberapa ahli matematika tersebut adalah Johannes Kepler (1571-1630) dan Galileo Galilei (1564-1642).

Sejarah Matematika diambil dari marsigit MA

 

Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut.  Artefak matematika yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 – 1 SM).

 

Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi.
Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi.

Kita hidup pasti tidak akan terlepas dari sejarah maka jangan sekali-sekali meninggalkan sejarah  termasuk sejarah matematika  Ini adalah sebuah kutipan dari para ahli  matematika yang saya peroleh dari berbagai sumber terpercaya trims trims- atas perhatiannya, Semoga bermanfaat.Terima kasih atas perhatian pembaca ok .

Hubungan Filsafat Dengan Matematika
Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah mendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari sistem matematika.
Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat, yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan, pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.
Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b” bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang bersifat finit atau terhingga.
Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya? Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang “ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya “infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.
Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.

– See more at: http://himmadika.fkip.uns.ac.id/sejarah-matematika/#sthash.EHhTSwUG.dpuf